СДВИГОВАЯ ВЯЗКОСТЬ ДИCПЕРСИЙ ЧАСТИЦ С ЖИДКОЙ ОБОЛОЧКОЙ

Русский

Журнал(книга):

Читать онлайн: 

Авторы:

Аннотация научной статьи: 

На основе ячеечного метода проведен расчет сдвиговой вязкости дисперсий частиц с жидкой обо
лочкой. Рассмотрен вопрос о выборе оптимальногорадиуса ячейки. Получено точное выражение
для сдвиговой вязкости взвеси, пригодное при произвольной объемной доле дисперсной фазы. 

Загрузка: 
Иконка PDF Download 812-816.pdf (348.94 КБ)
Текст статьи: 

КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2010, том 72, № 6, с. 812–816
812
1. ВЕДЕНИЕ
Известно, что для расчета кинетических коэф
фициентов концентрированных дисперсий широко
применяется ячеечный метод [1, 2]. В нем предпола
гается, что возмущение, вносимое выделенной ча
стицей дисперсии, локализовано внутри окружаю
щей частицу ячейки, имеющей сферическую форму.
Гидродинамические взаимодействия учитываются
эффективным образом через зависимость радиуса
ячейки от объемной доли  дисперсной фазы. 
В работе [3] была предложена новая версия яче
ечного метода для расчета сдвиговой вязкости дис
персии, в которой: 1) вместо обычно рассматривае
мого поступательного движения частицы проана
лизировано вращательное движение (этот тип
движения позволяет согласовать симметрию гидро
динамических потоков с симметрией ячейки);
2) предложен асимптотический способ определе
ния радиуса ячейки. Для того чтобы определить ра
диус ячейки необходимо иметь выражение для вяз
кости разбавленной взвести  в качестве ко
торого можно использовать выражение,
полученное Эйнштейном. Далее проводится согла
сование ячеечной модели с данными, полученными
для разбавленной дисперсии. Такое согласование
позволяет получить выражение для радиуса ячейки
как функции концентрации дисперсии. 
Целью данной работы является применение
ячеечной модели для расчета вязкости дисперсии
частиц с жидкой оболочкой. Полученные выраже
ния имеют смысл при значениях объемной доли
т.е. полностью охватывают область
концентраций, где допустимо гидродинамическое
описание.
2. МОДЕЛЬ ЧАСТИЦЫ
Рассмотрим частицы нескольких видов, имею
щие принципиально различные структуры, но опи
сываемые при помощи единой модели. Прежде все
го, речь идет о мицеллах [4], каплях микроэмульсий
Φ
( ) 0, Φ→
00.49, ≤Φ<
[5], микрогелях [6], твердых сферах в полимерном
растворе [7] и т.п.
Обратная мицелла состоит из твердого (непро
ницаемого для растворителя) ядра и углеводород
ных радикалов, проницаемых для растворителя.
Подобную структуру также имеют твердые части
цы, покрытые полимерными молекулами [7], а так
же предложенная Дебаем и Бюхе [8] модель поли
мерной макромолекулы. 
Подобную же структуру имеют дисперсии твер
дых частиц, поверхности которых смачиваются од
ной жидкостью и не смачиваются второй жидко
стью, не смешивающейся с первой, так что на по
верхности частиц образуется жидкая оболочка. При
определенных значениях поверхностного натяже
ния [9], жидкая оболочка на сфере при слабых воз
мущениях может сохранять сферическую форму. 
Все вышеописанные модели частиц имеют по
добную структуру: имеется твердая (непроницаемая
для растворителя) сердцевина и окружающая ее по
лупроницаемая оболочка. Обычно для описания
движения жидкости в полупроницаемой оболочке
используется уравнение Бринкмана [10]. Соответ
ствующая ячеечная модель с вращательным движе
нием была построена в работе [3]. Однако, как было
указано в [10], уравнения Бринкмана хорошо опи
сывают среду с промежуточными значениями пори
стости. Для сред с низкой пористостью предпочти
тельней использовать уравнение Дарси. Высокопо
ристую среду можно рассматривать как суспензию
твердых частиц с некоторой вязкостью  
3. СДВИГОВАЯ ВЯЗКОСТЬ РАЗБАВЛЕННЫХ 
ВЗВЕСЕЙ
Используем метод Эйнштейна [9, 11] для опреде
ления вязкости взвеси частиц с жидкой оболочкой.
Рассмотрим помещенную в растворитель частицу,
состоящую из непроницаемого для растворителя
сферического ядра радиуса RC,которое окружено
концентрической с ним полупроницаемой оболоч
кой радиуса RS
.Оболочка моделируется изотроп
1
. η
СДВИГОВАЯ ВЯЗКОСТЬ ДИCПЕРСИЙ ЧАСТИЦ С ЖИДКОЙ ОБОЛОЧКОЙ
© 2010 г. Е. В. Орлов
Одесский государственный экономический университет
Украина, 65082 Одесса, ул. Преображенская, 8 
Поступила в редакцию 18.11.2009 г.
На основе ячеечного метода проведен расчет сдвиговой вязкости дисперсий частиц с жидкой обо
лочкой. Рассмотрен вопрос о выборе оптимальногорадиуса ячейки. Получено точное выражение
для сдвиговой вязкости взвеси, пригодное при произвольной объемной доле дисперсной фазы. 
УДК 532.533
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ том 72  № 6  2010
СДВИГОВАЯ ВЯЗКОСТЬ ДИСПЕРСИЙ ЧАСТИЦ С ЖИДКОЙ ОБОЛОЧКОЙ 813
ной, однородной суспензией, имеющей вязкость 
Растворитель (с коэффициентом вязкости  ) зани
мает пространство вне сферы и на больших расстоя
ниях от нее совершает чисто деформационное дви
жение, определяемое тензором скоростей деформа
ции   За пределами частицы движение
растворителя подчиняется уравнению Стокса [9]
при  (1)
где  – скорость жидкости,  x– радиусвек
тор, p– давление. Движение жидкости внутри обо
лочки, как было указано выше, также подчиняется
уравнению Стокса, но вязкость среды принимается
равной 
при  (2)
звездочкой обозначены величины, относящиеся
к оболочке. 
Внутри и снаружи оболочки жидкость предпола
гается несжимаемой, поэтому
(3)
Граничные условия имеют следующий вид:
(4)
где  – вектор нормали к поверхности,  – тензор
напряжений. 
Следуя [9], решения уравнений (1) и (2) будем
искать в виде 
(5)
где  – давление в чисто деформационном дви
жении с тензором  при отсутствии сферы;  и 
представляют возмущения, вызываемые наличи
ем сферы, и
при 
Так как уравнения движения и граничные усло
вия линейны и однородны относительно   
 то давления и скорости должны выражаться
функциями вида
(6)
где  – постоянные. Неизвестные функции,
удовлетворяющие основным уравнениям (1)–(3), а
также условиям на больших расстояниях от части
цы и при  , имеют следующий вид:
(7)
Константы  находятся при помощи
граничных условий. Как было показано в [9], сдви
говая вязкость суспензии зависит только от кон
станты C:
(8)
где  – объем частицы и суммирование
проводится по всем частицам суспензии.
Выражение для  имеет вид
(9)
где 
Таким образом, окончательное выражение для
сдвиговой вязкости взвеси частиц с жидкой оболоч
кой имеет вид
(10)
Можно заметить, что асимптотики выражения
(9) совпадают с хорошо известными результатами.
При  из формулы (9) получаем
линейный по  вклад в вязкость эмульсии, полу
ченный Тейлором [12], который в свою очередь
(при  ) переходит в выражение для вязкости
суспензии твердых сфер [11]. 
Таким образом, выражение (10) описывает пове
дение сдвиговой вязкости взвеси невзаимодейству
1
. η
0 η
ik e ( ) 0. ii e =
2
0
, p ∇=η∇u S
, Rr<<∞
u , r =x
1 η
2
1
**, p ∇=η∇u CS, RrR <<
S
CS
при
при
0, ,
*0, .
Rr
RrR
∇= < <∞
∇= <<
u
u
()
C
S
S
S
при
при
при
при
*0, ,
*0, , 0, ,
* 0, , kli l j ij ij
rR
rR
rR
nn r R
==
−= =
==
εσ−σ= =
u
uu
nu
n σ
'
,', iiijj uuexppP =+ =+
P
ij e '
i u ' p
'
0, ' 0, i up→→ . r →∞
, u *, u , p
*, p ,
ij σ
() ()()
() ()
001 5
* ',**,
1, * **,
ij
ij ij i j
iijjjkijk
iijjjkijk
xx
pCe pp C exx r
uMrexQrexxx
u M rex Q re xxx
=η − = η
=+ +
=+
0
* ,*, CC p
0 r =
2
557 5
57
55* ,,***, 21 22
2*5* ** . 21 22
DCD B MQ MDCr rrr r AB QCrr
==− =+ +
=− + −
, , *, *, * DCB C D
01
2
1,3
C
V
η π
=−
η ∑
S
3
1
4
3
VRπ
=
C
S
33 57 71010 010 1 0 1 0 0 1 3 3 3 5 7 7 10 10
01 0 1 0 1 0 0 1
41025 25 42 25 25 4 10 2, ,
4 4 25 10 42 25 10 4 4
C
R
η + η − ηθ − ηθ + ηθ + ηθ − ηθ + ηθ − ηθ
=− γ γ=
η + η − ηθ − ηθ + ηθ + ηθ + ηθ + ηθ − ηθ
C
S
.
R
R
θ=
( ) 0
1. η=η +γΦ
0 θ→
01
01
5
2
η+ η
γ→
η+η
Φ
1 η→∞
814
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ том 72  № 6  2010
ОРЛОВ
ющих частиц. Областью его применимости являют
ся значения  Для того чтобы учесть гид
родинамические взаимодействия между частицами,
используем ячеечный метод [3].
4. СДВИГОВАЯ ВЯЗКОСТЬ ПЛОТНЫХ 
ВЗВЕСЕЙ
Используем для расчета вязкости дисперсии ча
стиц с жидкой оболочкой ячеечный метод, предло
женный в [3]. Вязкость системы в рамках ячеечной
модели задается следующим выражением (рис. 1):
(11)
где    – радиусы жесткой сердцевины, ча
стицы и ячейки соответственно. 
Пусть частица вращается с угловой скоростью 
Уравнения движения среды имеют следующий вид:
(12)
и должны быть дополнены граничными условиями 
и   (13)
и 
где  ( = 1, 2) – компоненты тензора напряже
ний, n– единичный вектор, направленный нор
мально к поверхности частицы и ячейки. Условия
(13) отображают непрерывность поля скоростей и
нормальных составляющих поля напряжений. Ис
00.1. <Φ≤
CS
S
1
0
,, ,, ,,
RrR
RrR
Rr
η≤≤ ⎧

η= η ≤ ≤ ⎨

η≤ ⎩
C, R S
, R R
. Ω
CS
S
1
2
3
0, ,
0, ,
0,
RrR
RrR
Rr
Δ= ≤≤
Δ= ≤≤
Δ= ≤
V
V
V
[ ] CC 1
() , , , rR == Vr R Ω
12 () () = Vr Vr S
(1) (2)
,, ik k ik k nnrR σ=σ =
23 () () = Vr Vr (2) (3)
,, ik k ik k nnrR σ=σ =
()m
ik σ m
комое поле скоростей внутри и вне ячейки имеет
следующую структуру:
(14)
параметры модели определяются выражениями:
(15)
Для определения параметра  или, другими сло
вами, значений сдвиговой вязкости взвеси, исполь
зуем уравнение энергетического баланса
в котором величина  является
энергией, диссипируемой внутри ячейки радиуса
и  – энергия, диссипируемая в
однородной жидкости со сдвиговой вязкостью 
при вращении изолированной сферы радиуса 
Отметим, что в последнем случае ячейка представ
ляет собой всю область за пределами сферы
Выражение 
является тензором градиентов поля скоростей v.
Усредненное поле скоростей 
получено путем усреднения последнего выражения
(14) по объему, линейный размер которого по по
рядку величины равен радиусу частицы. В результа
те параметр  непосредственно связанный с вязко
стью взвеси соотношением (15), удовлетворяет
уравнению
в котором
() ()[]
() []
()
()[]
C
CS
S
S
S
3
1 2
3
2 3
3
3 2
1,, 1
,
,,
1
,
1
,, ,
1
R r
z
z r
RrR
R
zr
z r
RrR
z R
rR z r
⎧⎫ λϕ
=−λ−+ψ⎨⎬ λ−λϕ+ϕ −ψ λ ⎩⎭ <<
⎛⎞ ϕ
=−ψ⎜⎟ λ−ϕλ+ϕ −ψ ⎝⎠
<<
ϕ− =>λ−ϕλ+ϕ −ψ
VnVn
Vn



CS
S
3
3
3
00 3
1
,,,1. RR z
R R
⎛⎞ ηη ϕ=θ = ψ= λ= = − ⎜⎟ ηη ⎝⎠
z
( ) ( ) 10 2 , WWη= η
C
2
0
10 ()
2
ik
V
Wgdη
η=∫
v
, R () 2
2
* 2
ik
V
Wgdη
η=∫
v
η
S
. R
( ) *. V =∞
1
2
ik ik
ki
g
xx ∂∂ ⎛⎞ =+⎜⎟∂∂ ⎝⎠
vv
() [] S
3
3
1
,
1
R z
zr

=
−ψ
vr r Ω
, z
2
0, Az Bz C ++=
2222
22
22 2222
,
22 2 2 2,
22 2 2 .
A
B
C
= λϕψ − λϕψ + ϕψ − ϕ ψ
= λ+ λϕψ− ϕψ− λϕψ+ ϕψ
=ϕ−λ−λϕψ+λ−λϕ+λϕ−ϕ−λϕ
Ω
η1
Rc
η
RS
η0
R
Рис. 1.Модель ячейки.
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ том 72  № 6  2010
СДВИГОВАЯ ВЯЗКОСТЬ ДИСПЕРСИЙ ЧАСТИЦ С ЖИДКОЙ ОБОЛОЧКОЙ 815
Выражение для сдвиговой вязкости имеет вид
(16)
При  и  (предельный случай суспензии
твердых сфер) формула (16) переходит в полученное
ранее [3] выражение для вязкости суспензии твер
дых сфер:
(17)
При  асимптотика  может быть представ
лена в следующем виде:
(18)
где
Слагаемое  при  и  что
соответствует случаю твердых сфер в бесконечно
разбавленной суспензии. Коэффициент 
при линейном по  вкладе описывает добавку в
значения вязкости, вызванную присутствием в рас
творителе частиц. 
Полученное выражение (16) содержит два пара
метра   которые описывают внутреннюю струк
туру частицы и параметр  характеризующий объ
емную долю частиц в дисперсии. Моделирование
первых двух параметров проводится на основе зна
ний о внутренней структуре частиц рассматривае
мой взвеси и не является целью данной работы. Та
ким образом, задача об определении средней вязко
сти взвеси сводится к установлению взаимосвязи
параметра модели  с экспериментально измеряе
мой объемной долей  где  – суммарный
объем, занимаемый частицами взвеси 
5. СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗМЕРОМ ЯЧЕЙКИ 
И ОБЪЕМНОЙ ДОЛЕЙ ЧАСТИЦ
Всем ячеечным подходам свойственна неопре
деленность в выборе размера ячейки. Мы будем
следовать подходу, развитому в [3]. С физической
точки зрения диаметр ячейки  должен по поряд
ку величины равняться среднему расстоянию 
между частицами дисперсии.
Коэффициент пропорциональности  в выра
жении 
R= βRG (19)
может быть определен путем сравнения асимптоти
ческого разложения (18) сдвиговой вязкости при
найденного в рамках ячеечного подхода, с
разложением (10) при  полученным с помо
щью гидродинамической теории возмущений. 
Воспользовавшись тем, что 
получаем
С учетом этого представления формула (18) приво
дит к ряду
Сравнивая его с (10), получаем выражение для
коэффициента пропорциональности  
Связь между объемной долей  и параметром 
определяется соотношением
(20)
Таким образом, результаты гидродинамической
теории и ячеечной модели согласованы при малых
значениях  однако эти модели не эквивалентны,
так как их области применимости существенно раз
личны ( и  соответственно,
см. [3]). 
6. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Значения сдвиговой вязкости, полученные при
помощи формулы (10) (случай бесконечно разбав
0
2
2
.
24A
AB B AC
η=η
+− −
1 ϕ→ 1 λ→
( )
() () 0
2
1
.
11121 ψ−ψ η=η
ψ−ψ+− +ψ −ψ
0 ψ→ η
( ) ( ) ( ) [ ] 01 2 , , , , ... , ηλϕψ =η ξ λϕ +ξ λϕψ+
() () ( )
22 222
12 22 2 222
22 2 22 6 2 2
,,, ,
22 .
E
EEE
−λ−ϕ−λ λ+ϕ−ϕλ−λ−ϕ+ϕλ+ϕλ λ
ξλϕ= ξ λϕ=
=ϕ−ϕλ −ϕ + λ + λϕ −ϕλ
( ) 1 ,1 ξλϕ→ 1 ϕ→ 0, λ→
( ) 2
, ξλϕ
ψ
, ϕ , λ
, ψ
ψ
0
,
V
V
Φ= 0 V
( )
3
004
.
3
VRNπ
=
2R
G R
β
0, ψ→
0, Φ→
G
3
0
4
3
,
8
R
R
π
Φ=
3
61
. ψ= Φ
πβ
() () 01 2 3
61
,, .... ⎡⎤ η=η ξ λϕ +ξ λϕ Φ+ ⎢⎥πβ ⎣⎦
β
1
3
2 6
.
⎛⎞ξ
β=⎜⎟πγ ⎝⎠
Φ ψ
2
.
γ
ψ= Φ
ξ
, Φ
00.1 <Φ< 00.49 <Φ<
816
КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ том 72  № 6  2010
ОРЛОВ
ленной суспензии), слабо зависят от параметров 
и  В этом можно убедиться непосредственно
при помощи соответствующих графических по
строений или проанализировав структуру формулы
(помня об узкой области ее применения). Иная си
туация наблюдается в случае выражений для сдви
говой вязкости, полученных на основе ячеечного
метода (формулы (16) и (20)). В этом случае, как
видно из рис. 2 и 3, прослеживается довольно силь
ное влияние значений параметров  и  на сдви
говую вязкость системы. Это вполне естественно,
так как область применения ячеечной модели охва
тывает значения  при которых внутренняя
структура разбавленных частиц может оказывать
сильное влияние на кинетические коэффициенты
суспензии. Это подтверждают и полученное выра
жение для вязкости.
Детальное сравнение полученных теоретических
результатов с экспериментальными данными дано в
последующих работах. 
Автор выражает благодарность проф. Н.П. Мало
мужу за детальное обсуждение результатов работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Simha R.// J. Appl. Phys. 1952. V. 23. P. 1020. 
2.Happel J.// J. Appl. Phys. 1957. V. 28. P. 1288. 
3.Маломуж Н.П., Орлов Е.В.// Коллоид. журн. 2002.
Т. 46. С. 725. 
4.Chevaler Y., Zemb T.// Rep. Prog. Phys. 1990. V. 53. P. 279. 
5.Brouwer W.M., Nieuwenhuis E.A., Kops*
Werkhoven M.M.// J. Colloid Interface Sci. 1983.
V. 92. P. 57. 
6.Berli C. L.A., Quemada D.// Langmuir. 2000. V. 16.
P. 7 9 6 8 . 
7.Sung W., Lee M.G.// Phys. Rev. E. 1995. V. 5. P. 5855. 
8.Debye P., Bueche A.M.// J. Chem. Phys. 1948. V. 16.
P. 573. 
9.Бэтчелор Дж.Введение в динамику жидкости. М.:
Мир, 1973. 
10.Neal G., Epstein N.// Chem. Eng. Sci. 1973. V. 28.
P. 1 8 6 5 . 
11.Einstein A.// Ann. Phys. 1906. V. 19. P. 289. 
12.Taylor G.I.// Proc. Roy. Soc. A. 1932. V. 138. P. 41. 
, θ
0 η 1
. η
, θ 0 η 1 η
0.1 , <Φ
14
12
10
8
6
4
1
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.7 0.8
Φ
1 2 3
η
η
0

Рис. 2.Зависимости отношения вязкости дисперсии
к вязкости растворителя от объемной доли части Φ
при различных отношениях радиуса ядра и оболочки:
1 – ϕ= 0.8, 2– 0.6, 3– 0.4, λ= 0.63.
13
11
9
7
5
3
1
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.7 0.8
Φ
η
η
0

15
1 2 3
Рис. 3.Зависимости отношения вязкости дисперсии
к вязкости растворителя от объемной доли части Φ
при различных отношениях радиуса ядра и оболочки:
1 – ϕ= 0.8, 2– 0.6, 3– 0.4, λ= 0.6.

Комментировать